“为你，千千万万遍”
静静地蜷在床角捧着这本书。阿米尔终于有勇气追寻那只折射着人性光辉的风
苏俊1,2宋峰3
1.华东师范大学教师教育学院；2.江苏省海安高级中学；3.南开大学物理科学学院
问题1解析
建立直角坐标系，坐标原点位于立方体中心，三个坐标轴平行于立方体边线。设粒子坐标为（x，y，z），其中x,y，z。
为了分析粒子的受力情况，我们将边长为a的立方体分成一个长方体和三个小块，长方体的边长为(a-2x)×(a-2y)×(a-2z)，三个小块的厚度分别为2x、2y、2z的方块。如图1所示
图1
当粒子位于长方体中心处不受力，我们来分析带电量为q的粒子与厚度为h、长度为a的均匀带电小块之间的作用力。小块的电荷密度为ρ，粒子到小块中心的垂直距离为a/2。根据对称性和高斯定理，粒子电通量为：
Φ=q/(6ε)（1）
式中ε为真空介电常数。
带电粒子所受的作用力为：
F=σΦ=qρh/(6ε)（2）
其中电荷面密度为σ=ρh。
三个小块对粒子的作用力分别为：
则回复力为：
其中为位置矢量。
由牛顿第二定律，粒子的运动方程为：
m为粒子的质量，则回复系数：
k=qρ/(3ε)（6）
根据简谐振动的周期公式：
求得：
解析：本题要求出带电粒子的振动周期，通过高斯定理求出静电力，而回复力来源于静电力，给出回复力与位移的线性关系，得到线性系数即回复系数k，则可以得到周期T。
问题2解析
方法一：
我们考虑线圈上的一小段，其受到的安培力为：
作用在线元上的合力为：
上式中和分别是作用在线元两端的电线的张力。将(9)式投影到方向，考虑到安培力垂直于方向，可以得到：
T1=T2（10）
因此，在两段线圈上张力均为常数，又由于对称性，这两个常数相等，所以整根绳子上张力大小均为常数T。
对于离线圈顶部悬挂点距离为l(线元到悬挂点沿绳的长度)的线元，设其切向矢量为，则可以将(9)式写为：
可得：
由上式可得：
即线圈上每一点的切向向量都和磁场的夹角相同。在水平面上随着l以匀速旋转，因此我们可以认为线圈的两个部分(最高点到最低点)都缠绕着一个圆柱体，并且与磁场保持着一个固定的角度α。为了找到此圆柱体的半径，我们将上述表达式投影到水平面：
在线圈的最低点悬挂着重物，在此点三力平衡：两个张力（来自线圈的两部分）以及重物对线圈的拉力（源自于重力，竖直方向）。因此这三个力应该位于同一个竖直平面，线圈的两部分缠绕的圆柱半径相同。线圈形状如图2，线圈上每一点切线方向与竖直方向(即磁场方向)夹角均为α。线圈分为两段，每一段都是绕着圆柱的螺旋线。
图2
可以算出线圈的半周长：
式中，H为最低点到最高点高度差，R是圆柱体的半径。
因此：
可得到线圈中的张力为：
于是，我们得到悬挂物的重量为：
方法二：
稳定的平衡对应于势能的最低点。该题总的势能是重力势能和电流在磁场中能量之和。我们用S表示线圈在水平面的投影面积，则有：
Ep=-PH-ISB（18）
Ep取决于两个变量：H和S。注意到在不改变H的情况下可以改变线圈在水平面的投影面积。所以，在H不变的情况下增加S从而减小势能。势能的最小值对应于S的最大化（在水平平面的周长不变的情况下），即线圈在水平面的投影是一个圆。
而当投影确定之后，H会在线圈与竖直轴成一个固定夹角时达到最大值。因此线圈的形状是柱面上的螺旋线。
则：
势能的极小值条件是：
E/H=0（21）
P=2IBH/π（22）
在重物悬点处力平衡方程为2(H/L)T=P，则
T=LIB/π（23）
讨论：本题可以从受力的角度进行进行，物理过程比较清晰，但是矢量计算比较繁琐。另外也可以能量的角度分析，方法简洁，但是物理过程没有受力分析直观。读者可以从两个角度来理解该问题。
问题3解析
方法一：
两体系统的质心坐标为
可知质心速度
则质心加速度为：
题中两个小球m1=m2=m，有
对于两个球体、轻质杆所构成的系统，有3个外力，洛伦兹力、重力与悬挂装置对系统的拉力，下面证明悬挂装置对系统的拉力大小恰好为两个小球的重力大小。注意到杆的质量为，即杆的加速度为。分析杆的受力，其受两个小球对杆的作用力和悬挂装置对杆的拉力。两个小球受到的重力相同，为，洛伦兹力的大小相同，方向相反，，以及杆对小球的作用力，。两个小球的向心力等大反向，从而有：
得出
杆所受的合外力为
因此有
系统所受的合外力为，从而给出两个球体质心的运动方程为：
式中为质心(杆的中点)的运动速度，和分别是两个小球的运动速度。在运动开始时，质心速度vC=，在之后的运动中vC也是。以质心为转动中心的方程为：
利用三矢量叉乘公式
小球在一个以杆的中心为球心的球面上运动，即
（28）式可以简成为：
题中要求是沿着z轴的，那么
，式子中的z是小球的z轴坐标。考虑转动方程的z轴分量：
可解得：
由初始条件z=和Lz=，可以解出C=。
当小球的角动量在z轴上投影到达最大值时，小球速度的z分量为vz=z=，此时系统的角动量L=Lz=mur，其中r是小球到z轴的距离，u是小球的速度。另外，小球是在一个以杆的中心为球心的球面上运动，满足r2 z2=R2。洛伦兹力和杆对小球的作用力不做功，这表明该系统的动能不变，结合质心速度的条件，可以得知u=v。我们可以得到小球角动量的z分量
代入（31）式，得到一个关于zmax的一元四次方程：
解得：
考虑3个正交的单位矢量，第1个沿着小球的速度方向，第2个沿着小球到杆的中心方向，第3个则垂直于前两个单位矢量。在先前的分析中可知v=const，所以a1=。沿着第2个单位的加速度是小球的向心加速度a2=v2/R。牛顿第二定律在第3个单位矢量的方向为：ma3=qvBzmax/R。最终得到：
方法二：
（33）式由广义动量也可以给出。带电粒子在电磁场中的广义动量为,是磁矢势，满足。磁矢势的取法有很多种，是一种满足题设磁场的磁矢势，式中r代表空间点到z轴的距离(即r=x2 y2)，τ表示垂直于磁场和空间点所对应的位矢的单位矢量。磁矢势旋度为
其中x、y、z为单位矢量，结合题中的磁场分布，有如下关系：
选取磁矢势的解需要一些技巧，观察上述方程组，可以发现，Az=，且Ax、Ay与z无关，可以满足（36）式前两个方程，整理成表达式为：
可以看出Ay=Bx,Ax=或Ax=-By,Ay=等都是方程的解，为了方便后续求解，取如下形式：
Ay=Bx/2,Ax=-By/2（38）
因而
小球距离z轴的距离为
则
其中括号内为单位矢量，定义为τ。从磁矢势表达式，可以看出该磁矢势是一个环绕着z轴的环形矢量场，具有圆柱对称性，则柱坐标系下对应的广义动量的分量应该是守恒的。柱坐标系的三个自由变量为(r,θ,z)，需要注意的是守恒的广义动量分量是由环绕着z轴的场产生的，对应的广义动量是由θ产生的角动量：
上式v⊥是垂直于z轴的速度分量，当小球在z轴的角动量投影达到最大时vz=z=，有v⊥=v，得到一个关于ρ=r/R的方程：
ρ2 2κρ-1=0（41）
其中κ≡mv/（qBR），是正数，可以得到：
这个结果化简后和（33）式的结果是一致的。
讨论：本题可以从粒子的角动量角度求解，这也是大家使用的常规方法。另外也可以通过广义动量求解该问题，对物理知识要求较高，有兴趣的同学可以查阅电磁学相关知识作进一步学习。
本文选自《现代物理知识》2022年第1期YWA编辑
